這是一個真實存在的故事，有一個英國人把家鄉(xiāng)的兔子帶到了新開拓的澳大利亞，有一天，一些兔子脫離了人類的控制到了野外。在此之后的數(shù)十年，這些兔子從最初的24只繁衍到了6億只，破壞了澳大利亞的植被，造成了嚴重的生態(tài)危機。
但是為什么我們平時看到的動物、植物都不會無限制地生長下去？這就涉及到指數(shù)模型和邏輯斯蒂模型的問題，也就是生物講過的J型增長和S型增長。
就像發(fā)酵的米漿里的乳酸菌，營養(yǎng)成分和其他外界因素會導致它生長速率的減慢
開頭所講的兔子為什么會增長得如此之快？因為在沒有任何外界擾動的情況下，事物總是趨向于指數(shù)增長，體現(xiàn)在迭代速率維持穩(wěn)定。
可以看成每一個時間段增長當前種群數(shù)量乘以一定的比率的積，
用微分方程表示就是：dy/dx=ky
可以化簡為：dy/y=kdx
即：lny=kx+C，得到y(tǒng)=Cekx，其中C為0時刻的種群數(shù)量。
在理想條件下，蝦和蠶這些動物都會呈現(xiàn)指數(shù)增長
這個模型可以解決沒有外界擾動情況下所有的自然與人類活動，而且大量事實表明，在任何事物最開始發(fā)展的階段，它的增長都是近似于指數(shù)增長的。例如上世紀90年代的摩托車數(shù)量增長，2013年左右4G網(wǎng)民隨智能手機普及的增長等。
這可以解釋為什么網(wǎng)紅在一開始總是能流量爆表
然而把同樣的兔子放在粵港澳大灣區(qū)的市政公園里面，卻不會出現(xiàn)這種數(shù)十年間從24只繁衍到6億只的情況，這是為什么呢？
即使在再優(yōu)越的環(huán)境，外界因素總是存在的，動物和人都不能無限繁殖
因為這些兔子會受到很多因素的影響，例如公園里的草和人類提供的蔬菜是有限的，兔子自身會有衰老和死亡的情況，以及不可抗的病毒、臺風等自然災(zāi)害或生物因素，最終兔子的數(shù)量總會趨于區(qū)域內(nèi)的最大環(huán)境容納量。
這時候可以看作增長率既與當前種群數(shù)量有關(guān)，也和最大環(huán)境容納量與當前種群數(shù)量之差有關(guān)?？梢杂梦⒎址匠瘫硎緸閐y/dx=ky（Y-y），可以化簡為：dy/{y（Y-y）}=kdx，1/Y（1/（Y-y）+1/y）=kdx，1/y*ln*y/(Y-y)=kx+C，y/(Y-y)=eYkx+CY，最終解得y=YAeYkx/(1+AeYkx’)*A=eCY。
其曲線就是S型曲線的原型，其中0時刻的種群數(shù)量為YA/1+A。
這個模型普遍存在于自然與人類世界的增長中，被稱為邏輯斯蒂模型。
本質(zhì)就是增長率為關(guān)于時間的二次函數(shù)的圖像
當y=Y/2時，dy/dx有最大值kY^2/4，符合S型增長的最適環(huán)境容納量。這在社會上體現(xiàn)在當一件物品或一項能力達到最大市場需求的一半時，它的發(fā)展勢頭是最旺盛的。例如2017年的共享單車，當一線城市基本普及，二三線城市開始風靡的時候，正是共享單車行業(yè)發(fā)展得最快的時候，而在2021年當共享單車市場基本被黃、藍、綠三家瓜分的時候，共享單車已經(jīng)不再熱門了。
地鐵建設(shè)也是，進度接近一半的時候往往是進展速度最快的時候
同樣地，從邏輯斯蒂模型的增長曲線也可以證明，在所有事物開始的時候，增長總是趨向于指數(shù)增長。例如一定區(qū)域內(nèi)注冊無人機駕駛員的人數(shù)，剛開始的時候人們對其都很有期望，導致注冊人數(shù)以比較高的增長率穩(wěn)定增長。然而無人機從業(yè)的覆蓋面，無人機行業(yè)的發(fā)展前景等都在影響著注冊人數(shù)的增長，導致最終注冊人數(shù)會趨向于無人機行業(yè)達到飽和時的從業(yè)人數(shù)。
無人機的從業(yè)者即使再多，總有達到飽和的那一天
客觀來說，所有事物的增長都是遵循邏輯斯蒂模型的。在外界干擾無法避免的情況下，能夠改變的就是增長的上限值和增長的速率，其中增長的上限起決定作用。所以在開展一個項目的時候，如果想要得到更多的關(guān)注，就需要先確定自己的目標人群的絕對數(shù)量，也就是微分方程中的Y值。
一條小村能吸引多少人，就要從目標開始，規(guī)劃邏輯斯蒂曲線的高度
指數(shù)模型和邏輯斯蒂模型在2021年應(yīng)用于分析疫苗接種的人數(shù)增長。例如某款疫苗，某區(qū)域內(nèi)18歲以上的居民可以免費接種，在一般情況下，其在接種人數(shù)增長率的變化趨勢會是類似二次函數(shù)一樣先增長后減小，總體接種人數(shù)的增長呈現(xiàn)慢-快-慢的趨向，即在接近一半人接種時增長接種人數(shù)最多，當接種人數(shù)接近于區(qū)域18歲以上的居民總數(shù)時，就可以達到理論上的群體免疫狀態(tài)。
無論是疫苗普及還是新思想的熏陶都是一種邏輯斯蒂模型
這類似文章開頭提到的公園里的兔子增長模型，但無論是疫苗接種還是兔子增長，都需要一段時間達到增長的最大值，這是由外界因素決定的。所有的技術(shù)和新產(chǎn)品都需要經(jīng)過一段時間的努力才能達到目標人群的基本覆蓋，區(qū)別僅在于努力時間的長短，也就是微分方程中k的數(shù)值。
例如對文明乘坐地鐵的知識的普及，努力的速度是由人的素質(zhì)決定的
總之，邏輯斯蒂模型是一般增長抽象出的模型，無論是自然界的兔子增長，人類社會的發(fā)展規(guī)律（例如新事物取代舊事物的歷程），都是普遍通用的。人能夠做的是通過適當?shù)恼{(diào)節(jié)，改變增長上限（Y值）和增長速率（k值），使得事物的發(fā)展能順應(yīng)發(fā)展的規(guī)律。
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